双相复合材料因其优异的综合性能匹配（如力学性能、物理性能和电学性能）而得到广泛应用。因此，基于组元相的性能来预测双相材料的性能对材料设计开发及优化具有重要意义。在各项性能的预测中，关于弹性性能（如弹性模量、剪切模量和泊松比）的预测研究最为广泛。然而，这些前期研究只是在不同程度上给出双相材料混合模量的上下限，并不能给出其精确值。

　　最近，沈阳材料科学国家（联合）实验室材料疲劳与断裂研究部张哲峰课题组的张振军博士基于传统的并联与串联模型及微积分思想，推导出了如下含离散型第二相双相材料弹性（剪切）模量的统一表达式，实现了混合弹性（剪切）模量的精确预测：

　　其中，E₁、f₁及E₂、f₂分别为基体和第二相的弹性模量和体积分数，而A、B、C与a、b、c为等效单元中基体与第二相的各边长，如图1a所示。参数b可反映不同的第二相尺寸、形状与分布，其取值范围为0~1。b=0为并联；b=1为串联；b=1/2为二维正方型内嵌联接；b=1/3为三维立方型内嵌联接，对应于第二相等轴且均匀分布的情况。混合剪切模量的推导过程和最终表达式与弹性模量一致。对于弹性各向同性材料，泊松比可根据弹性与剪切模量计算等到。

　　有限元模拟结果（图1b-1d）及前期大量实验数据（图2）均证实了该模型的准确性。从图2可以看出，相比于以往的各种计算方法所给出的弹性常数上下限（图2中各虚线），该模型准确预测了不同体积分数第二相的混合弹性模量、剪切模量及泊松比（图2中红实线）。

　　一方面，该模型首次将微积分思想应用于混合模量计算中，不但得到了传统模型不能得到的混合模量的精确值，而且给出了含不同尺寸、形状与分布离散型第二相的双相材料混合模量的统一表达式，因而具有重要理论意义。另一方面，该模型所需要参数简单易得（只需平均等效单元体的各轴长），计算公式简便，因而也具有极高的实际应用价值。此外，鉴于导电问题与模量问题的相似性，若将上式模量E换为电导率S，该模型同样也适用于预测双相材料的混合导电率。

　　该研究结果发表在4月17日出版的Physical Review B上。

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图1 双相材料等效单元体示意(a)及有限元模拟验证(b-d)：(b)和(c)分别为二维正方型与三维立方型（包括球形第二相）内嵌联接验证结果，(d)为b取不同值的验证结果

图2 各种双相材料的混合弹性模量(a-g)、剪切模量(h)与泊松比(i)的实验结果与几种理论预测对照，其中红点为实验结果，红线为公式(1)预测，虚线为几种前期理论预测